ls_matrix.eq1.gif元連立1次方程式はls_matrix.eq2.gifの行列を使って以下のように表される.

ls_matrix.eq3.gif

ここで,ls_matrix.eq4.gifは係数項,ls_matrix.eq5.gifは定数項である. ベクトル表記で表すと,

ls_matrix.eq6.gif

となる.

連立1次方程式はクラメルの公式(Cramer's fomula)で理論的に解くことができる. ls_matrix.eq7.gifに逆行列が存在するならば,上記の式は,

ls_matrix.eq8.gif

と解くことができる. 逆行列ls_matrix.eq9.gifは余因子行列ls_matrix.eq10.gifを用いると,

ls_matrix.eq11.gif

ここでls_matrix.eq12.gifls_matrix.eq7.gifの行列式(determinant)であり,ls_matrix.eq13.gifでなければならない. また,余因子行列ls_matrix.eq10.gifは,

ls_matrix.eq14.gif

の要素で構成される.ここで,ls_matrix.eq15.gifls_matrix.eq7.gifls_matrix.eq16.gifls_matrix.eq17.gif列を除いたls_matrix.eq18.gif の行列の行列式である.

この余因子行列を使った逆行列の式を代入する.

ls_matrix.eq19.gif

よって,

ls_matrix.eq20.gif

により各未知数ls_matrix.eq21.gifを求めることができる. さらに,右辺のls_matrix.eq22.gifの項はls_matrix.eq7.gifls_matrix.eq17.gif列目を\V{b}で置き換えた行列の行列式に等しいことから,

ls_matrix.eq23.gif

となる.これがクラメルの公式である.

クラメルの公式を用いた際の演算回数はls_matrix.eq24.gifとなり,非常に大きい. 行列のサイズが小さい時やこれから述べる数値解法で得られた解をチェックする際には有用であるが, 行列のサイズが非常に大きくなりがちな実際の問題に当てはめるのは難しい. そこで数値解法により近似的に解く方法を説明する.


添付ファイル: filels_matrix.eq7.gif 442件 [詳細] filels_matrix.eq18.gif 492件 [詳細] filels_matrix.eq22.gif 502件 [詳細] filels_matrix.eq23.gif 477件 [詳細] filels_matrix.eq5.gif 504件 [詳細] filels_matrix.eq4.gif 461件 [詳細] filels_matrix.eq17.gif 541件 [詳細] filels_matrix.eq21.gif 584件 [詳細] filels_matrix.eq3.gif 613件 [詳細] filels_matrix.eq8.gif 501件 [詳細] filels_matrix.eq6.gif 478件 [詳細] filels_matrix.eq9.gif 479件 [詳細] filels_matrix.eq19.gif 483件 [詳細] filels_matrix.eq20.gif 500件 [詳細] filels_matrix.eq2.gif 493件 [詳細] filels_matrix.eq24.gif 466件 [詳細] filels_matrix.eq14.gif 455件 [詳細] filels_matrix.eq13.gif 484件 [詳細] filels_matrix.eq11.gif 597件 [詳細] filels_matrix.eq12.gif 593件 [詳細] filels_matrix.eq1.gif 517件 [詳細] filels_matrix.eq16.gif 452件 [詳細] filels_matrix.eq15.gif 492件 [詳細] filels_matrix.eq10.gif 502件 [詳細]

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Last-modified: 2022-11-30 (水) 13:48:11