ヤコビ反復法ではls_gauss_seidel.eq1.gifステップでのls_gauss_seidel.eq2.gifだけを使ってls_gauss_seidel.eq3.gifでの値を求めていた. しかし,ls_gauss_seidel.eq4.gifと順番に計算した場合, ls_gauss_seidel.eq5.gifを求めるときにはls_gauss_seidel.eq6.gifが, ls_gauss_seidel.eq7.gifを求めるときにはls_gauss_seidel.eq8.gifがすでに計算されている. これら最新の値を使うのがガウス・ザイデル反復法(Gauss-Seidel iteration method)である.

たとえば,3元連立1次方程式の場合,反復式は以下となる.

ls_gauss_seidel.eq9.gif

収束判定条件はヤコビ法と同じであり, 収束するための係数行列の条件も同じである. ただし,収束までの反復回数はヤコビ法よりも少なくすむ.

ガウス・ザイデル反復法の実装

ヤコビ反復法ではls_gauss_seidel.eq10.gifls_gauss_seidel.eq11.gifの2つを格納するために2つの配列を用意したが, ガウス・ザイデル法では常に最新の値を用いるため配列は1つでよい. ガウス・ザイデル反復法をC++で実装した例を以下に示す.

  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
 21
 22
 23
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 31
 32
 33
 34
 35
 36
 37
 38
 39
 40
 41
 42
 43
 44
 45
 46
 47
 48
 49
/*!
 * ガウス-ザイデル反復法(Gauss Seidel iterative method)
 *  - 解が収束するのは
 *      ・対角有利(diagonal dominant, 対角要素の絶対値>その行の他の要素の絶対値の和)
 *      ・係数行列が対称(symmetric)かつ正定(positive definite)
 *      ・Σ_j |a_ij/a_ii| < 1 (i = 1〜n, j != i) 
 * @param[inout] A n×nの係数行列とn×1の定数項(b)を併せたn×(n+1)の行列.n+1列目に解が入る.
 * @param[in] n n元連立一次方程式
 * @param[inout] max_iter 最大反復数(反復終了後,実際の反復数を返す)
 * @param[inout] eps 許容誤差(反復終了後,実際の誤差を返す) 
 * @return 1:成功,0:失敗
 */
int GaussSeidel(vector< vector<double> > &A, int n, int &max_iter, double &eps)
{
    vector<double> x(n, 0.0);    // 初期値はすべて0とする
    double tmp;
 
    double e = 0.0;
    int k;
    for(k = 0; k < max_iter; ++k){
        // 現在の値を代入して,次の解候補を計算
        e = 0.0;
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            tmp = x[i];
            x[i] = A[i][n];
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                x[i] -= (j != i ? A[i][j]*x[j] : 0.0);
            }
            x[i] /= A[i][i];
 
            e += fabs(tmp-x[i]);    // 絶対誤差の場合
            //e += fabs((tmp-x[i])/tmp);    // 相対誤差の場合
        }
 
        // 収束判定
        if(e <= eps){
            break;
        }
    }
 
    max_iter = k;
    eps = e;
 
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        A[i][n] = x[i];
    }
 
    return 1;
}

添付ファイル: filels_gauss_seidel.eq4.gif 521件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq3.gif 459件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq8.gif 469件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq11.gif 485件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq6.gif 442件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq1.gif 444件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq5.gif 440件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq7.gif 474件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq9.gif 446件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq10.gif 478件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq2.gif 450件 [詳細]

トップ   編集 凍結 差分 バックアップ 添付 複製 名前変更 リロード   新規 一覧 単語検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS
Last-modified: 2012-06-26 (火) 19:09:58 (3008d)