ヤコビ反復法ではls_gauss_seidel.eq1.gifステップでのls_gauss_seidel.eq2.gifだけを使ってls_gauss_seidel.eq3.gifでの値を求めていた. しかし,ls_gauss_seidel.eq4.gifと順番に計算した場合, ls_gauss_seidel.eq5.gifを求めるときにはls_gauss_seidel.eq6.gifが, ls_gauss_seidel.eq7.gifを求めるときにはls_gauss_seidel.eq8.gifがすでに計算されている. これら最新の値を使うのがガウス・ザイデル反復法(Gauss-Seidel iteration method)である.

たとえば,3元連立1次方程式の場合,反復式は以下となる.

ls_gauss_seidel.eq9.gif

収束判定条件はヤコビ法と同じであり, 収束するための係数行列の条件も同じである. ただし,収束までの反復回数はヤコビ法よりも少なくすむ.

ガウス・ザイデル反復法の実装

ヤコビ反復法ではls_gauss_seidel.eq10.gifls_gauss_seidel.eq11.gifの2つを格納するために2つの配列を用意したが, ガウス・ザイデル法では常に最新の値を用いるため配列は1つでよい. ガウス・ザイデル反復法をC++で実装した例を以下に示す.

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int GaussSeidel(vector< vector<double> > &A, int n, int &max_iter, double &eps)
{
    vector<double> x(n, 0.0);        double tmp;
 
    double e = 0.0;
    int k;
    for(k = 0; k < max_iter; ++k){
                e = 0.0;
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            tmp = x[i];
            x[i] = A[i][n];
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                x[i] -= (j != i ? A[i][j]*x[j] : 0.0);
            }
            x[i] /= A[i][i];
 
            e += fabs(tmp-x[i]);                        }
 
                if(e <= eps){
            break;
        }
    }
 
    max_iter = k;
    eps = e;
 
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        A[i][n] = x[i];
    }
 
    return 1;
}

添付ファイル: filels_gauss_seidel.eq2.gif 601件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq5.gif 573件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq7.gif 604件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq9.gif 597件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq10.gif 625件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq1.gif 585件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq6.gif 664件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq4.gif 727件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq3.gif 674件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq8.gif 683件 [詳細] filels_gauss_seidel.eq11.gif 680件 [詳細]

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Last-modified: 2022-11-30 (水) 13:48:11