ls_lanzcos5_cg.eq1.gifls_lanzcos5_cg.eq2.gifに関する関係式を使って共役勾配法のアルゴリズムを導き出してみる. まず,基本的なProjection法のステップを思いだそう.

ls_lanzcos5_cg.eq3.gif

ここで,ls_lanzcos5_cg.eq4.gifである. これをDirect版Lanczosアルゴリズムに当てはめる.ls_lanzcos5_cg.eq5.gifとすると,

ls_lanzcos5_cg.eq6.gif

これまで,ls_lanzcos5_cg.eq7.gifから始まっていたが,ここではより一般的なls_lanzcos5_cg.eq8.gifからのスタートにしてあるので注意. また,ls_lanzcos5_cg.eq9.gifと書き換えている. 次にls_lanzcos5_cg.eq2.gifの更新式を考える. Direct版のLanczosではls_lanzcos5_cg.eq10.gifであり, ls_lanzcos5_cg.eq1.gifls_lanzcos5_cg.eq11.gifのスカラー倍になっているので,残差ベクトルls_lanzcos5_cg.eq1.gifと前ステップのls_lanzcos5_cg.eq2.gifを使って,

ls_lanzcos5_cg.eq12.gif

と書ける. なお,式中のls_lanzcos5_cg.eq13.gifls_lanzcos5_cg.eq14.gifの要素として使っていたls_lanzcos5_cg.eq13.gifとは別物なので注意.

前節で述べたls_lanzcos5_cg.eq1.gifls_lanzcos5_cg.eq2.gifの直交,共役関係を使ってls_lanzcos5_cg.eq13.gifを算出することで,共役勾配法のアルゴリズムが得られる.

  • ls_lanzcos5_cg.eq15.gifの導出
    ls_lanzcos5_cg.eq1.gifに関する関係式よりls_lanzcos5_cg.eq16.gifなので,
    ls_lanzcos5_cg.eq17.gif
    これをls_lanzcos5_cg.eq15.gifについて解くと以下となる.
    ls_lanzcos5_cg.eq18.gif
    分母について,ls_lanzcos5_cg.eq2.gifの性質ls_lanzcos5_cg.eq19.gifを用いると,
    ls_lanzcos5_cg.eq20.gif
    となる.よって,
    ls_lanzcos5_cg.eq21.gif
  • ls_lanzcos5_cg.eq22.gifの導出
    ls_lanzcos5_cg.eq23.gifの関係を用いる.まず,
    ls_lanzcos5_cg.eq24.gif
    であり,よって以下のようにls_lanzcos5_cg.eq22.gifに関する式が求められる.
    ls_lanzcos5_cg.eq25.gif
    これをさらに変形する. いま,ls_lanzcos5_cg.eq26.gifから, ls_lanzcos5_cg.eq27.gifなので,
    ls_lanzcos5_cg.eq28.gif
    ls_lanzcos5_cg.eq29.gifより,最終的に,
    ls_lanzcos5_cg.eq30.gif

これらの式から,以下の共役勾配法のアルゴリズムが得られる.

ls_lanzcos5_cg.eq31.gifを計算
for(j = 0,1,...){
  ls_lanzcos5_cg.eq32.gif
  ls_lanzcos5_cg.eq33.gif
  ls_lanzcos5_cg.eq26.gif
  if(収束判定) 反復終了
  ls_lanzcos5_cg.eq34.gif
  ls_lanzcos5_cg.eq35.gif
}


添付ファイル: filels_lanzcos5_cg.eq15.gif 456件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq3.gif 420件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq4.gif 468件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq10.gif 432件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq31.gif 415件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq8.gif 422件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq20.gif 448件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq21.gif 417件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq16.gif 398件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq18.gif 389件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq29.gif 409件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq9.gif 424件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq30.gif 395件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq12.gif 450件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq27.gif 416件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq33.gif 431件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq1.gif 413件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq11.gif 474件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq14.gif 385件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq5.gif 415件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq2.gif 396件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq32.gif 418件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq35.gif 393件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq25.gif 1088件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq6.gif 355件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq28.gif 489件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq19.gif 389件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq17.gif 395件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq26.gif 423件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq7.gif 418件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq13.gif 367件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq24.gif 376件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq34.gif 378件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq23.gif 440件 [詳細] filels_lanzcos5_cg.eq22.gif 433件 [詳細]

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Last-modified: 2012-07-12 (木) 17:07:21 (3000d)