DIOMで得られた残差ベクトルls_lanzcos4_direct2.eq1.gifls_lanzcos4_direct2.eq2.gifについて考えてみる. FOMの収束判定で導いたように,

ls_lanzcos4_direct2.eq3.gif

であり,ls_lanzcos4_direct2.eq1.gifls_lanzcos4_direct2.eq4.gifのスカラー倍になっている. ls_lanzcos4_direct2.eq5.gifは直交系であるので,

ls_lanzcos4_direct2.eq6.gif

また,ls_lanzcos4_direct2.eq2.gifに関しては,以下の関係が成り立つ.

ls_lanzcos4_direct2.eq7.gif

これはAに関する共役を意味しており,A-共役 (A-conjugate)と呼ばれる.Aが単位行列ならばrと同じく直交になる.

これに関する証明を以下に示す.

ls_lanzcos4_direct2.eq8.gifであるならば,ls_lanzcos4_direct2.eq9.gifは対角行列になるはずである. ls_lanzcos4_direct2.eq10.gifなので,

ls_lanzcos4_direct2.eq11.gif

Aは対称行列なので,ls_lanzcos4_direct2.eq9.gifも対称行列になる. よって,ls_lanzcos4_direct2.eq12.gifも対称行列である.また,ls_lanzcos4_direct2.eq13.gifは下三角行列(上三角行列の逆行列もまた上三角行列なので)である. 対称な下三角行列とは要するに対角行列である.よって,ls_lanzcos4_direct2.eq9.gifは対角行列であり, ls_lanzcos4_direct2.eq2.gifのA-共役が成り立つ.


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Last-modified: 2012-07-13 (金) 17:50:54 (3196d)