Lanczos法は対称行列に限定した,Krylov部分空間における正規直交基底を求める方法であったが, これを非対称行列に対応させた拡張をLanczos双直交化(Lanczos Biorthogonalization or Two-sided Lanczos method), 非対応行列の正規直交基底を求めるのならばArnoldi法になるのではないかと思うが, そうではなく,双直交系(biorthogonal system)に基づく方法で,Arnoldiとは異なる. ちなみに 双直交系とは,2つのベクトル空間のそれぞれの直交基底ls_bicg1_bi-lanczos.eq1.gifls_bicg1_bi-lanczos.eq2.gifとなるような系である(ls_bicg1_bi-lanczos.eq3.gifはクロネッカーのデルタでi=jで1,それ以外で0となる).

Lanczos双直交化では,以下の2つのKrylov部分空間の正規直交基底を求めていく.

ls_bicg1_bi-lanczos.eq4.gif
ls_bicg1_bi-lanczos.eq5.gif

双直交なls_bicg1_bi-lanczos.eq6.gifls_bicg1_bi-lanczos.eq7.gifのKrylov部分空間の基底ならば,ls_bicg1_bi-lanczos.eq8.gifを満たす.

Lanzcos法のアルゴリズムより,以下の3項漸化式(three-term recurrence formula)が成り立つ.

ls_bicg1_bi-lanczos.eq9.gif

ls_bicg1_bi-lanczos.eq10.gifについても同様に,

ls_bicg1_bi-lanczos.eq11.gif

ここで,ls_bicg1_bi-lanczos.eq12.gifであり, ls_bicg1_bi-lanczos.eq13.gifls_bicg1_bi-lanczos.eq14.gifを正規化するためのパラメータである.

ls_bicg1_bi-lanczos.eq15.gif

双直交化するために,ls_bicg1_bi-lanczos.eq16.gifとなるようにls_bicg1_bi-lanczos.eq13.gifを定める. つまり,

ls_bicg1_bi-lanczos.eq17.gif

となる.この条件を満たす限り,ls_bicg1_bi-lanczos.eq13.gifはどのように定めてもよい. ここでは,

ls_bicg1_bi-lanczos.eq18.gif

とする.また,この定義から以下も成り立つ.

ls_bicg1_bi-lanczos.eq19.gif

これらの式を用いたLanczos双直交化のアルゴリズムは以下となる.

任意のベクトルls_bicg1_bi-lanczos.eq20.gifを設定(ただしls_bicg1_bi-lanczos.eq21.gif)
ls_bicg1_bi-lanczos.eq22.gifを設定
for(j = 1,2,...,m){
  ls_bicg1_bi-lanczos.eq23.gif
  ls_bicg1_bi-lanczos.eq24.gif
  ls_bicg1_bi-lanczos.eq25.gif
  ls_bicg1_bi-lanczos.eq26.gif
  if(ls_bicg1_bi-lanczos.eq27.gif) 反復終了
  ls_bicg1_bi-lanczos.eq28.gif
  ls_bicg1_bi-lanczos.eq29.gif
  ls_bicg1_bi-lanczos.eq30.gif
}

得られたls_bicg1_bi-lanczos.eq31.gifからなる行列

ls_bicg1_bi-lanczos.eq32.gif

を考える.双直交系なので,ls_bicg1_bi-lanczos.eq33.gifである. 今,アルゴリズム中のls_bicg1_bi-lanczos.eq34.gifを使って以下の三重対角行列を定義する.

ls_bicg1_bi-lanczos.eq35.gif

3項漸化式より,

ls_bicg1_bi-lanczos.eq36.gif

ls_bicg1_bi-lanczos.eq37.gifを使って,ls_bicg1_bi-lanczos.eq38.gifにまとめると以下となる.

ls_bicg1_bi-lanczos.eq39.gif

この式から,

ls_bicg1_bi-lanczos.eq40.gif

双直交性からls_bicg1_bi-lanczos.eq41.gifなので,

ls_bicg1_bi-lanczos.eq42.gif

添付ファイル: filels_bicg1_bi-lanczos.eq18.gif 585件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq24.gif 590件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq21.gif 605件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq2.gif 630件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq17.gif 572件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq30.gif 528件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq40.gif 572件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq42.gif 581件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq5.gif 572件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq28.gif 537件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq10.gif 595件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq13.gif 581件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq1.gif 571件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq27.gif 551件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq3.gif 560件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq7.gif 552件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq41.gif 573件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq4.gif 543件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq35.gif 567件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq26.gif 561件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq9.gif 606件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq11.gif 523件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq32.gif 535件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq31.gif 544件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq36.gif 526件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq16.gif 548件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq39.gif 535件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq33.gif 516件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq19.gif 536件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq29.gif 525件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq14.gif 518件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq37.gif 525件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq20.gif 542件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq23.gif 514件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq6.gif 500件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq15.gif 546件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq38.gif 521件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq12.gif 514件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq8.gif 476件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq22.gif 573件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq34.gif 518件 [詳細] filels_bicg1_bi-lanczos.eq25.gif 563件 [詳細]

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Last-modified: 2012-07-13 (金) 15:34:30 (3196d)