ENOを改良して,重み付き平均をとることで5次精度を実現したのがWENOである.

3次精度のENOではeqa_phix-i.gifについて, eqa_weno1.gifの6つの内,4つの値を用いて補間を行う. そして,その組み合わせは3パターン (eqa_weno2.gifeqa_weno3.gifeqa_weno4.gif)である. 実際に展開してみと以下となる(eqa_phix-.gifでは,k=i-1).

eqa_weno5.gif

1+2+4, 1+2+5, 1+3+6, 1+3+7の4パターンになるが, 以下に示すように1+2+5と1+3+6が同じなので,組み合わせは3パターンになる. それぞれさらに展開してφiの式にする.

eqa_weno6.gif

差分をeqa_weno7.gifと表記すると上記3パターンは,

eqa_weno8.gif

ENO近似は結局この3つのパターンに集約される. これらの内どれかが状況に応じて用いられる. WENO(Weighted ENO)はその名の通り,これら3つの凸結合 *1eqa_phix.gifを近似する *2. つまり,

eqa_weno12.gif

ここで,eqa_weno13.gif

問題となるのはeqa_weno14.gifの選択である. 関数が滑らかならば,eqa_weno15.gifで5次精度が得られる *3. ただし,矩形波のように滑らかでない関数だととたんに不安定になる. *4では滑らかでない関数でも安定な重みの計算法を提案している.その方法を以下に示す.

eqa_phix.gifの滑らかさ(smoothness)を以下のように定義する.

eqa_weno16.gif

先ほどの重みの組み合わせ(eqa_weno17.gif)をsmoothnessの2乗で割ることで重みを得る.

eqa_weno18.gif

ここで,

eqa_weno19.gif

eqa_weno20.gifはゼロ割を防ぐための項である. eqa_weno21.gifeqa_phi.gifが符号付距離場であることが前提で設定されている. つまり,eqa_phix.gifがほぼ1であり,eqa_weno22.gifの場合である. 最終的にeqa_weno23.gifを満たすために,正規化を行う.

eqa_weno24.gif

これらから,

eqa_weno25.gif

によりeqa_phi.gifを更新することで5次精度の結果が得られる.


*1 凸結合とは一次結合eqa_weno9.gifでアフィン結合(eqa_weno10.gif),かつ,eqa_weno11.gif
*2 X. D. Liu, S. Osher, and T. Chan, "Weighted essentially non-oscillatory schemes", J. Comput. Phys. 115(1), pp. 200-212, 1994.
*3 G. Jiang and C.-W. Shu, "Efficient implementation of weighted ENO schemes", J. Comput. Phys. 126, pp.202-228, 1996.
*4 G. Jiang and D. Peng, "Weighted ENO Schemes for Hamilton Jacobi Equations", SIAM J. Sci. Comput. 21, pp.2126-2143, 2000.

添付ファイル: fileeqa_weno20.gif 407件 [詳細] fileeqa_weno19.gif 434件 [詳細] fileeqa_weno2.gif 418件 [詳細] fileeqa_weno3.gif 445件 [詳細] fileeqa_weno6.gif 562件 [詳細] fileeqa_weno4.gif 456件 [詳細] fileeqa_weno5.gif 468件 [詳細] fileeqa_weno21.gif 412件 [詳細] fileeqa_weno22.gif 410件 [詳細] fileeqa_weno23.gif 438件 [詳細] fileeqa_weno8.gif 397件 [詳細] fileeqa_weno7.gif 403件 [詳細] fileeqa_weno25.gif 397件 [詳細] fileeqa_weno24.gif 397件 [詳細] fileeqa_weno9.gif 362件 [詳細] fileeqa_weno11.gif 387件 [詳細] fileeqa_weno16.gif 418件 [詳細] fileeqa_weno17.gif 378件 [詳細] fileeqa_weno15.gif 392件 [詳細] fileeqa_weno1.gif 425件 [詳細] fileeqa_weno14.gif 404件 [詳細] fileeqa_weno13.gif 388件 [詳細] fileeqa_phi.gif 349件 [詳細] fileeqa_phix-.gif 393件 [詳細] fileeqa_weno12.gif 397件 [詳細] fileeqa_phix.gif 410件 [詳細] fileeqa_weno10.gif 379件 [詳細] fileeqa_phix-i.gif 400件 [詳細] fileeqa_weno18.gif 397件 [詳細]

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Last-modified: 2011-10-28 (金) 13:03:45 (3250d)