ENO(Essentially Non-Oscillatory polynomial interpolation)は風上差分を改良し, 3次多項式の形で近似することで3次精度を実現した方法である. ENOの最初のアイデアは *1 で提案され, *2, *3 で数値計算に適用され, *4 でHamilton-Jacobi(HJ)方程式へ適用された(HJ ENO). 移流方程式はHJ方程式であるので,ここからは,HJ ENOについて説明する.

HJ ENOの式を述べる前に,準備として差分式を定義しておく. eqa_phii.gifのn階差分をeqa_Dinphi.gifと表記する.とすると,n=0は,

eqa_eno1.gif

となる.ここで,iはグリッド番号(座標値eqa_xi.gif).

1階差分はグリッド間(i-1/2とi+1/2)で定義される.

eqa_eno2.gif
eqa_eno3.gif

2階差分はi-1/2とi+1/2での1階差分値を使って,iで定義される.

eqa_eno4.gif

同様に3階差分は,

eqa_eno5.gif
eqa_eno6.gif

ENOでは3次多項式によりeqa_phi.gifを近似する.

eqa_eno7.gif

ここで,eqa_Qm.gifはm次項である. eqa_phix+i.gif, eqa_phix-i.gifの式がほしいので, 上式を微分して,x=eqa_xi.gifとすると,

eqa_eno8.gif
  • 1次項eqa_Q1d.gif
    eqa_phix-.gifの場合k=i-1,eqa_phix+.gifでk=iとすると,
    eqa_eno9.gif
    eqa_eno10.gif
    eqa_Q1d.gifのみの場合が風上差分に相当する.これに,2次項,3次項を加えることで,3次精度を得る.
  • 2次項eqa_Q2d.gif
    eqa_eno11.gif
    eqa_eno12.gif
    ここで,
    eqa_eno13.gif
  • 3次項eqa_Q3d.gif
    eqa_eno14.gif
    eqa_eno15.gif
    ここで,
    eqa_eno16.gif
    eqa_eno17.gif

これらによって,eqa_phixxi.gifを求め,

eqa_eno18.gif

によりeqa_phi.gifを更新する.


*1 A. Harten, B. Engquist, S. Osher and S. Chakravarthy, "Uniformly high-order accurate essentially non-oscillatory schemes III", J. Comput. Phys. 71, pp.231-303, 1987.
*2 C.-W. Shu and S. Osher, "Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock capturing schemes", J. Comput. Phys. 77, pp.439-471, 1988.
*3 C.-W. Shu and S. Osher, "Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock capturing schemes II", J. Comput. Phys. 83, pp.32-78, 1989.
*4 S. Osher and J. Sethian, "Fronts propagating with curvature dependent speed: algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations", J. Comput. Phys. 79, pp.12-49, 1988.

添付ファイル: fileeqa_phix+i.gif 555件 [詳細] fileeqa_phix-i.gif 668件 [詳細] fileeqa_phix+.gif 614件 [詳細] fileeqa_phii.gif 612件 [詳細] fileeqa_phi.gif 542件 [詳細] fileeqa_phix-.gif 634件 [詳細] fileeqa_xi.gif 543件 [詳細] fileeqa_phixxi.gif 543件 [詳細] fileeqa_eno9.gif 611件 [詳細] fileeqa_eno18.gif 519件 [詳細] fileeqa_eno2.gif 625件 [詳細] fileeqa_eno17.gif 636件 [詳細] fileeqa_eno15.gif 572件 [詳細] fileeqa_eno6.gif 677件 [詳細] fileeqa_eno16.gif 580件 [詳細] fileeqa_eno5.gif 638件 [詳細] fileeqa_eno4.gif 592件 [詳細] fileeqa_eno8.gif 618件 [詳細] fileeqa_eno7.gif 657件 [詳細] fileeqa_eno3.gif 607件 [詳細] fileeqa_eno14.gif 603件 [詳細] fileeqa_eno1.gif 487件 [詳細] fileeqa_Qm.gif 576件 [詳細] fileeqa_eno11.gif 544件 [詳細] fileeqa_eno13.gif 437件 [詳細] fileeqa_Q2d.gif 516件 [詳細] fileeqa_eno10.gif 547件 [詳細] fileeqa_Q3d.gif 591件 [詳細] fileeqa_eno12.gif 555件 [詳細] fileeqa_Q1d.gif 481件 [詳細] fileeqa_Dinphi.gif 1402件 [詳細]

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Last-modified: 2011-10-28 (金) 13:03:18 (3644d)