Poly6 kernel[1]†

密度計算など．rは2乗項しか含まれていないので，平方根を計算しなくてよいのがメリット．

eq_poly6.gif

勾配は，

eq_poly6_gradient.gif

ラプラシアンは，

eq_poly6_laplacian.gif

グラフにすると，

kernel_poly6.png

ラプラシアンの値は第2軸(右側)参照

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inline double RxKernelPoly6(const double &r, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h*h-r*r;
        return 315.0/(64.0*RX_PI*pow(h, 9))*q*q*q;
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}
 

inline Vec3 RxKernelPoly6G(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h*h-r*r;
        return -945.0/(32.0*RX_PI*pow(h, 9))*q*q*rij;
    }
    else{
        return Vec3(0.0);
    }
}
 

inline double RxKernelPoly6L(const double &r, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h*h-r*r;
        return -945.0/(32.0*RX_PI*pow(h, 9))*(3*q*q-4*r*r*q);
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}

hが定数ならば，上式のα部分はグローバル変数にでもあらかじめ計算して入れておいて使った方がよい．

↑

Spiky kernel[1,2]†

圧力項計算用．Poly6カーネルがr=0で勾配が0になり，パーティクルがクラスターを構成してしまう問題を解決する．

eq_spiky.gif

勾配は，

eq_spiky_gradient.gif

ラプラシアンは，

eq_spiky_laplacian.gif

[2]での定義は，

eq_spiky_desbrun.gif

グラフにすると，

kernel_spiky.png

ラプラシアンの値は第2軸(右側)参照

コード例

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inline double RxKernelSpiky(const double &r, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h-r;
        return 15/(RX_PI*pow(h, 6))*q*q*q;
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}
 

inline Vec3 RxKernelSpikyG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h-r;
        return -45.0/(RX_PI*pow(h, 6))*q*q*rij/r;
    }
    else{
        return Vec3(0.0);
    }
}
 

inline double RxKernelSpikyL(const double &r, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h-r;
        return -90.0/(RX_PI*pow(h, 6))*(q*q/r-q);
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}

hが定数ならば，上式のα部分はグローバル変数にでもあらかじめ計算して入れておいて使った方がよい．

↑

Viscosity kernel[1]†

粘性拡散項計算用．Laplacianが線型な関数になる．

eq_visc.gif

勾配は，

eq_visc_gradient.gif

ラプラシアンは，

eq_visc_laplacian.gif

グラフにすると，

kernel_viscosity.png

ラプラシアンの値は第2軸(右側)参照

コード例

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inline double RxKernelViscosity(const double &r, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = r/h;
        return 15.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 3))*(-0.5*q*q*q+q*q+0.5/q-1);
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}
 

inline Vec3 RxKernelViscosityG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = r/h;
        return 15.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(-1.5*q+2-0.5/(q*q*q))*rij;
    }
    else{
        return Vec3(0.0);
    }
}
 

inline double RxKernelViscosityL(const double &r, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h-r;
        return 45.0/(RX_PI*pow(h, 6))*q;
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}

hが定数ならば，上式のα部分はグローバル変数にでもあらかじめ計算して入れておいて使った方がよい．

↑

Spline kernel[3,4]†

sph_kernel_spline.eq1.gif

ここで，

sph_kernel_spline.eq2.gif

勾配は，

sph_kernel_spline.eq3.gif

ここで，

sph_kernel_spline.eq4.gif

ラプラシアンは，

sph_kernel_spline.eq5.gif

ここで，

sph_kernel_spline.eq6.gif

グラフにすると，

kernel_spline.png

ラプラシアンの値は第2軸(右側)参照

↑

Super Gaussian kernel[3]†

eq_gaussian2.gif

勾配は，

eq_gaussian2_gradient.gif

ラプラシアンは，

eq_gaussian2_laplacian.gif

グラフにすると，

kernel_gaussian2.png

ラプラシアンの値は第2軸(右側)参照

コード例

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inline double RxKernelSuperGaussian(const double &r, const double &h)
{
    double q = r/h;
    return 1.0/(pow(RX_PI, 1.5)*pow(h, 3))*(2.5-r*r)*exp(-q*q);
    //return 1.0/(sqrt(RX_PI)*h)*exp(-q*q);
}
 

inline Vec3 RxKernelSuperGaussianG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h)
{
    double q = r/h;
    return -2.0/(pow(RX_PI, 1.5)*pow(h, 3))*(1.0+2.5/(h*h)-q*q)*exp(-q*q)*rij;
}
 

inline double RxKernelSuperGaussianL(const double &r, const double &h)
{
    double q = r/h;
    return 2.0/(pow(RX_PI, 1.5)*pow(h, 3))*(2.0*q*q-(1.0+2.5/(h*h)-q*q)*(1.0-2.0*q*q))*exp(-q*q);
}

hが定数ならば，上式のα部分はグローバル変数にでもあらかじめ計算して入れておいて使った方がよい．

↑

Fourth-order weighting function†

eq_fourth.gif

勾配は，

eq_fourth_gradient.gif

ラプラシアンは，

eq_fourth_laplacian.gif

グラフにすると，

kernel_fourth.png

ラプラシアンの値は第2軸(右側)参照

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inline double RxKernelFourth(const double &r, const double &h)
{
    double q = 3*r/h;
    if(q >= 0.0 && q < 1.0){
        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);
        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q);
        double q1 = (1-q)*(1-q)*(1-q)*(1-q)*(1-q);
        return 9.0/(40.0*RX_PI*pow(h, 3))*(q3-6.0*q2+15.0*q1);
    }
    else if(q >= 1.0 && q < 2.0){
        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);
        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q);
        return 9.0/(40.0*RX_PI*pow(h, 3))*(q3-6.0*q2);
    }
    else if(q >= 2.0 && q < 3.0){
        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);
        return 9.0/(40.0*RX_PI*pow(h, 3))*(q3);
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}
 

inline Vec3 RxKernelFourthG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h)
{
    double q = 3*r/h;
    if(q >= 0.0 && q < 1.0){
        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);
        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q);
        double q1 = (1-q)*(1-q)*(1-q)*(1-q);
        return -27.0/(8.0*RX_PI*pow(h, 4))*(q3-6.0*q2+15.0*q1)*rij/r;
    }
    else if(q >= 1.0 && q < 2.0){
        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);
        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q);
        return -27.0/(8.0*RX_PI*pow(h, 4))*(q3-6.0*q2)*rij/r;
    }
    else if(q >= 2.0 && q < 3.0){
        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q);
        return -27.0/(8.0*RX_PI*pow(h, 4))*(q3)*rij/r;
    }
    else{
        return Vec3(0.0);
    }
}
 

inline double RxKernelFourthL(const double &r, const double &h)
{
    double q = 3*r/h;
    if(q >= 0.0 && q < 1.0){
        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q);
        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q);
        double q1 = (1-q)*(1-q)*(1-q);
        return 81.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(q3-6.0*q2+15.0*q1);
    }
    else if(q >= 1.0 && q < 2.0){
        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q);
        double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q);
        return 81.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(q3-6.0*q2);
    }
    else if(q >= 2.0 && q < 3.0){
        double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q);
        return 81.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(q3);
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}

hが定数ならば，上式のα部分はグローバル変数にでもあらかじめ計算して入れておいて使った方がよい．

↑

カーネル関数の係数計算†

SPH法ではカーネル関数Wは以下の条件を満たすことを仮定している．

sph_kernel.eq1.gif

これを満たすように各カーネルの係数が決定される． 例としてPoly6カーネル(sph_kernel.eq2.gif)の場合で実際にやってみよう．

sph_kernel.eq3.gif

ここで係数をsph_kernel.eq4.gifとした．

2次元では有効半径hの円を使って積分する． 下の図のように微少範囲sph_kernel.eq5.gifを積分する．

sph_kernel.eq13.gif

これが1となるためには

sph_kernel.eq6.gif

と導かれる．

kernel2d.jpg
2次元の場合

次に3次元の場合を考えてみよう． 下図左のように球の中心から表面まで伸びた角錐形状内の微少体積を考える． 各辺の長さはsph_kernel.eq7.gif, sph_kernel.eq8.gif, sph_kernel.eq9.gif(図右参照)となるので， カーネル関数の積分は以下のように表される．

sph_kernel.eq10.gif

Poly6カーネルを代入して計算する．

sph_kernel.eq14.gif

sph_kernel.eq11.gifとなるためには

sph_kernel.eq12.gif

と導かれる．

kernel3d.jpg
3次元の場合
↑

参考文献†

[1] Muller et al., Particle-Based Fluid Simulation for Interactive Applications, SCA2003.

[2] Desbrun and Cani, Smoothed Particles: A new paradigm for animating highly deformable bodies, Eurographics Workshop on Computer Animation and Simulation (EGCAS), 1996.

[3] Monaghan, Smoothed particle hydrodynamics, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 30, pp543-574, 1992.

[4] Becker and Teschner, Weakly compressible SPH for free surface flows, SCA2007.
添付ファイル: filesph_kernel_spline.eq5.gif 916件 [詳細] filesph_kernel_spline.eq4.gif 831件 [詳細] filesph_kernel_spline.eq3.gif 840件 [詳細] filesph_kernel_spline.eq6.gif 906件 [詳細] filesph_kernel.eq3.gif 729件 [詳細] filesph_kernel.eq5.gif 737件 [詳細] filesph_kernel.eq12.gif 874件 [詳細] filesph_kernel.eq8.gif 750件 [詳細] filesph_kernel.eq2.gif 728件 [詳細] filesph_kernel.eq9.gif 770件 [詳細] filesph_kernel.eq4.gif 750件 [詳細] filesph_kernel.eq13.gif 783件 [詳細] filesph_kernel.eq14.gif 834件 [詳細] filesph_kernel_spline.eq1.gif 896件 [詳細] filesph_kernel.eq11.gif 705件 [詳細] filesph_kernel_spline.eq2.gif 803件 [詳細] filesph_kernel.eq6.gif 783件 [詳細] filesph_kernel.eq7.gif 789件 [詳細] filekernel3d.jpg 1730件 [詳細] filesph_kernel.eq10.gif 752件 [詳細] filekernel_viscosity.png 2121件 [詳細] fileeq_visc_laplacian.gif 2252件 [詳細] fileeq_visc.gif 2208件 [詳細] fileeq_visc_gradient.gif 2146件 [詳細] filekernel_spiky.png 2021件 [詳細] filekernel_poly6.png 2375件 [詳細] filesph_kernel.eq1.gif 865件 [詳細] filekernel_spline.png 2325件 [詳細] filekernel2d.jpg 1927件 [詳細] filekernel_gaussian2.png 2701件 [詳細] filekernel_fourth.png 2149件 [詳細] fileeq_spiky.gif 2201件 [詳細] fileeq_spiky_gradient.gif 2062件 [詳細] fileeq_spiky_laplacian.gif 2218件 [詳細] fileeq_spline_gradient.gif 963件 [詳細] fileeq_spiky_desbrun.gif 2238件 [詳細] fileeq_poly6_laplacian.gif 2173件 [詳細] fileeq_poly6_gradient.gif 2361件 [詳細] fileeq_poly6.gif 2757件 [詳細] fileeq_gaussian2_gradient.gif 2037件 [詳細] fileeq_gaussian1.gif 931件 [詳細] fileeq_fourth_laplacian.gif 2139件 [詳細] fileeq_fourth.gif 2186件 [詳細] fileeq_gaussian2_laplacian.gif 2084件 [詳細] fileeq_fourth_gradient.gif 2162件 [詳細] fileeq_gaussian2.gif 2058件 [詳細]
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Last-modified: 2022-11-30 (水) 13:48:09