ニュートン法を連立非線形方程式に一般化する.
#ref(rf_newton_md.eq1.gif,nolink,70%)

ベクトル表記では,
#ref(rf_newton_md.eq2.gif,nolink,70%)

ここで,
#ref(rf_newton_md.eq3.gif,nolink,70%)

である.

&ref(rf_newton_md.eq4.gif,nolink,70%);ステップ目の近似値を&ref(rf_newton_md.eq5.gif,nolink,70%);とし,
&ref(rf_newton_md.eq5.gif,nolink,70%);の周りで上式をテイラー展開する.
#ref(rf_newton_md.eq6.gif,nolink,70%)

ここで,&ref(rf_newton_md.eq7.gif,nolink,70%);は&ref(rf_newton_md.eq8.gif,nolink,70%);を&ref(rf_newton_md.eq9.gif,nolink,70%);の要素とするヤコビ行列である.
2次以上の項を無視すると,連立非線形方程式は以下となる.
#ref(rf_newton_md.eq10.gif,nolink,70%)

&ref(rf_newton_md.eq11.gif,nolink,70%);とすると,
#ref(rf_newton_md.eq12.gif,nolink,70%)

が得られる.
この式は&ref(rf_newton_md.eq13.gif,nolink,70%);を未知数とした線形連立方程式であり,
LU分解などで解くことで,&ref(rf_newton_md.eq13.gif,nolink,70%);が得られる.
そして,以下の式で&ref(rf_newton_md.eq14.gif,nolink,70%);を計算する.
#ref(rf_newton_md.eq15.gif,nolink,70%)


-例)2元連立非線形方程式の場合~

***例)2元連立非線形方程式の場合 [#s22a361b]
#ref(rf_newton_md.eq16.gif,nolink,70%)

そして,
#ref(rf_newton_md.eq17.gif,nolink,70%)

である.よって,&ref(rf_newton_md.eq18.gif,nolink,70%);に関する式は以下となる.
#ref(rf_newton_md.eq19.gif,nolink,70%)

&ref(rf_newton_md.eq13.gif,nolink,70%);について解くと,
#ref(rf_newton_md.eq20.gif,nolink,70%)

これらを用いて&ref(rf_newton_md.eq21.gif,nolink,70%);を更新する.
#ref(rf_newton_md.eq22.gif,nolink,70%)

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