ガウス・ザイデル反復法

ヤコビ反復法ではステップでのだけを使ってでの値を求めていた． しかし，と順番に計算した場合， を求めるときにはが， を求めるときにはがすでに計算されている． これら最新の値を使うのがガウス・ザイデル反復法(Gauss-Seidel iteration method)である．

たとえば，3元連立1次方程式の場合，反復式は以下となる．

収束判定条件はヤコビ法と同じであり， 収束するための係数行列の条件も同じである． ただし，収束までの反復回数はヤコビ法よりも少なくすむ．

ガウス・ザイデル反復法の実装†

ヤコビ反復法ではとの2つを格納するために2つの配列を用意したが， ガウス・ザイデル法では常に最新の値を用いるため配列は1つでよい． ガウス・ザイデル反復法をC++で実装した例を以下に示す．

/*!
 * ガウス-ザイデル反復法(Gauss Seidel iterative method)
 *  - 解が収束するのは
 *      ・対角有利(diagonal dominant, 対角要素の絶対値>その行の他の要素の絶対値の和)
 *      ・係数行列が対称(symmetric)かつ正定(positive definite)
 *      ・Σ_j |a_ij/a_ii| < 1 (i = 1〜n, j != i) 
 * @param[inout] A n×nの係数行列とn×1の定数項(b)を併せたn×(n+1)の行列．n+1列目に解が入る．
 * @param[in] n n元連立一次方程式
 * @param[inout] max_iter 最大反復数(反復終了後,実際の反復数を返す)
 * @param[inout] eps 許容誤差(反復終了後,実際の誤差を返す) 
 * @return 1:成功,0:失敗
 */
int GaussSeidel(vector< vector<double> > &A, int n, int &max_iter, double &eps)
{
	vector<double> x(n, 0.0);	// 初期値はすべて0とする
	double tmp;

	double e = 0.0;
	int k;
	for(k = 0; k < max_iter; ++k){
		// 現在の値を代入して，次の解候補を計算
		e = 0.0;
		for(int i = 0; i < n; ++i){
			tmp = x[i];
			x[i] = A[i][n];
			for(int j = 0; j < n; ++j){
				x[i] -= (j != i ? A[i][j]*x[j] : 0.0);
			}
			x[i] /= A[i][i];

			e += fabs(tmp-x[i]);	// 絶対誤差の場合
			//e += fabs((tmp-x[i])/tmp);	// 相対誤差の場合
		}

		// 収束判定
		if(e <= eps){
			break;
		}
	}

	max_iter = k;
	eps = e;

	for(int i = 0; i < n; ++i){
		A[i][n] = x[i];
	}

	return 1;
}