多次元のニュートン・ラフソン法の変更点

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ニュートン法を連立非線形方程式に一般化する．
#ref(rf_newton_md.eq1.gif,nolink,70%)

ベクトル表記では，
#ref(rf_newton_md.eq2.gif,nolink,70%)

ここで，
#ref(rf_newton_md.eq3.gif,nolink,70%)

である．

&ref(rf_newton_md.eq4.gif,nolink,70%);ステップ目の近似値を&ref(rf_newton_md.eq5.gif,nolink,70%);とし，
&ref(rf_newton_md.eq5.gif,nolink,70%);の周りで上式をテイラー展開する．
#ref(rf_newton_md.eq6.gif,nolink,70%)

ここで，&ref(rf_newton_md.eq7.gif,nolink,70%);は&ref(rf_newton_md.eq8.gif,nolink,70%);を&ref(rf_newton_md.eq9.gif,nolink,70%);の要素とするヤコビ行列である．
2次以上の項を無視すると，連立非線形方程式は以下となる．
#ref(rf_newton_md.eq10.gif,nolink,70%)

&ref(rf_newton_md.eq11.gif,nolink,70%);とすると，
#ref(rf_newton_md.eq12.gif,nolink,70%)

が得られる．
この式は&ref(rf_newton_md.eq13.gif,nolink,70%);を未知数とした線形連立方程式であり，
LU分解などで解くことで，&ref(rf_newton_md.eq13.gif,nolink,70%);が得られる．
そして，以下の式で&ref(rf_newton_md.eq14.gif,nolink,70%);を計算する．
#ref(rf_newton_md.eq15.gif,nolink,70%)


-例)2元連立非線形方程式の場合~

***例)2元連立非線形方程式の場合 [#s22a361b]
#ref(rf_newton_md.eq16.gif,nolink,70%)

そして，
#ref(rf_newton_md.eq17.gif,nolink,70%)

である．よって，&ref(rf_newton_md.eq18.gif,nolink,70%);に関する式は以下となる．
#ref(rf_newton_md.eq19.gif,nolink,70%)

&ref(rf_newton_md.eq13.gif,nolink,70%);について解くと，
#ref(rf_newton_md.eq20.gif,nolink,70%)

これらを用いて&ref(rf_newton_md.eq21.gif,nolink,70%);を更新する．
#ref(rf_newton_md.eq22.gif,nolink,70%)

多次元のニュートン・ラフソン法 の変更点

多次元のニュートン・ラフソン法の変更点