直交・共役関係の変更点

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直交・共役関係の差分を削除

DIOMで得られた残差ベクトル&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq1.gif,nolink,70%);と&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq2.gif,nolink,70%);について考えてみる．
FOMの収束判定で導いたように，
#ref(ls_lanzcos4_direct2.eq3.gif,nolink,70%)

であり，&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq1.gif,nolink,70%);は&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq4.gif,nolink,70%);のスカラー倍になっている．
&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq5.gif,nolink,70%);は直交系であるので，
#ref(ls_lanzcos4_direct2.eq6.gif,nolink,70%)

また，&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq2.gif,nolink,70%);に関しては，以下の関係が成り立つ．
#ref(ls_lanzcos4_direct2.eq7.gif,nolink,70%)
これはAに関する共役を意味しており，A-共役 (A-conjugate)と呼ばれる．Aが単位行列ならばrと同じく直交になる．

これに関する証明を以下に示す．

&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq8.gif,nolink,70%);であるならば，&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq9.gif,nolink,70%);は対角行列になるはずである．
&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq10.gif,nolink,70%);なので，
#ref(ls_lanzcos4_direct2.eq11.gif,nolink,70%)

Aは対称行列なので，&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq9.gif,nolink,70%);も対称行列になる．
よって，&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq12.gif,nolink,70%);も対称行列である．また，&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq13.gif,nolink,70%);は下三角行列(上三角行列の逆行列もまた上三角行列なので)である．
対称な下三角行列とは要するに対角行列である．よって，&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq9.gif,nolink,70%);は対角行列であり，
&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq2.gif,nolink,70%);のA-orthogonal性が成り立つ．
&ref(ls_lanzcos4_direct2.eq2.gif,nolink,70%);のA-共役が成り立つ．

直交・共役関係 の変更点