直交・共役関係

DIOMで得られた残差ベクトルとについて考えてみる． FOMの収束判定で導いたように，

であり，はのスカラー倍になっている． は直交系であるので，

また，に関しては，以下の関係が成り立つ．

これはAに関する共役を意味しており，A-共役 (A-conjugate)と呼ばれる．Aが単位行列ならばrと同じく直交になる．

これに関する証明を以下に示す．

であるならば，は対角行列になるはずである． なので，

Aは対称行列なので，も対称行列になる． よって，も対称行列である．また，は下三角行列(上三角行列の逆行列もまた上三角行列なので)である． 対称な下三角行列とは要するに対角行列である．よって，は対角行列であり， のA-共役が成り立つ．