ヤコビ法やガウス・ザイデル法において各ステップで計算されたls_sor.eq1.gifls_sor.eq2.gifを用いて,さらに収束を加速させる方法が逐次加速緩和法(SOR法:Successive Over-Relaxation method)である.

各ステップにおいて補正量ls_sor.eq3.gifを用い,次の式で次ステップの値ls_sor.eq4.gifを計算する.

ls_sor.eq5.gif

ここで,ls_sor.eq6.gifは加速係数であり,通常,ls_sor.eq7.gifである. SOR法を使うとls_sor.eq6.gifの値によっては解の収束を速めることができる. ただし,問題にも依存するため最適な加速係数の算出が難しい.

SOR法の実装

SOR法をC++で実装した例を以下に示す.

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/*!
 * 逐次加速緩和法(SOR法:Successive Over-Relaxation)
 *  - ガウスザイデル反復法に加速係数をかけたもの
 * @param[inout] A n×nの係数行列とn×1の定数項(b)を併せたn×(n+1)の行列.n+1列目に解が入る.
 * @param[in] n n元連立一次方程式
 * @param[in] w 加速緩和乗数 ([0,2])
 * @param[inout] max_iter 最大反復数(反復終了後,実際の反復数を返す)
 * @param[inout] eps 許容誤差(反復終了後,実際の誤差を返す) 
 * @return 1:成功,0:失敗
 */
int SOR(vector< vector<double> > &A, int n, double w, int &max_iter, double &eps)
{
    vector<double> x(n, 0.0);    // 初期値はすべて0とする
    double tmp;
 
    double e = 0.0;
    int k;
    for(k = 0; k < max_iter; ++k){
        // 現在の値を代入して,次の解候補を計算
        e = 0.0;
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            tmp = x[i];
            x[i] = A[i][n];
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                x[i] -= (j != i ? A[i][j]*x[j] : 0.0);
            }
            x[i] /= A[i][i];
 
            x[i] = tmp+w*(x[i]-tmp);
 
            e += fabs(tmp-x[i]);    // 絶対誤差の場合
            //e += fabs((tmp-x[i])/tmp);    // 相対誤差の場合
        }
 
        // 収束判定
        if(e <= eps){
            break;
        }
    }
 
    max_iter = k;
    eps = e;
 
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        A[i][n] = x[i];
    }
 
    return 1;
}

添付ファイル: filels_sor.eq3.gif 638件 [詳細] filels_sor.eq1.gif 625件 [詳細] filels_sor.eq5.gif 602件 [詳細] filels_sor.eq2.gif 553件 [詳細] filels_sor.eq6.gif 601件 [詳細] filels_sor.eq7.gif 550件 [詳細] filels_sor.eq4.gif 606件 [詳細]

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Last-modified: 2012-06-26 (火) 19:11:11 (3011d)