線形システム(Aはls_arnoldi2_projection.eq1.gif)

ls_arnoldi2_projection.eq2.gif

ls_arnoldi2_projection.eq3.gifステップ目の近似解ls_arnoldi2_projection.eq4.gifを初期値ls_arnoldi2_projection.eq5.gifから求める. いま,2つの部分空間ls_arnoldi2_projection.eq6.gifを考える. そして,

  • ls_arnoldi2_projection.eq7.gif
  • ls_arnoldi2_projection.eq8.gif

として,解を探索するのがProjection法である. Kは解候補が含まれるsearch subspaceで, Lは近似解を得るための制約空間(subspace of constraints)である. Projection法では残差ベクトルls_arnoldi2_projection.eq9.gifがLに対して垂直になるようにする. この条件をPetrov-Galerkin conditionという.

ここで,ls_arnoldi2_projection.eq10.gifとすると,

ls_arnoldi2_projection.eq11.gif

よって,

ls_arnoldi2_projection.eq12.gif

2つめの条件により,ls_arnoldi2_projection.eq13.gifはLに垂直なベクトルとなる. これが基本的なProjection法のステップである. また,K,Lはステップごとに適切なものを選ぶ必要がある.

Krylov部分空間によるProjection法

共役勾配法を代表的なものとして,多くの方法が Projection法において,K,LにKrylov部分空間を用いたものになっている. Krylov部分空間をls_arnoldi2_projection.eq14.gifとすると, これらの方法は大まかに以下のように分類される.

  • ls_arnoldi2_projection.eq15.gif : FOMなど
  • ls_arnoldi2_projection.eq16.gif : Lanczos, BiCG, CGS, QMRなど
  • ls_arnoldi2_projection.eq17.gif : GMRESなど

添付ファイル: filels_arnoldi2_projection.eq1.gif 598件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq14.gif 572件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq17.gif 588件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq10.gif 574件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq8.gif 611件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq13.gif 545件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq4.gif 512件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq15.gif 517件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq9.gif 501件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq2.gif 477件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq12.gif 525件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq7.gif 502件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq16.gif 512件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq6.gif 493件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq11.gif 513件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq5.gif 501件 [詳細] filels_arnoldi2_projection.eq3.gif 531件 [詳細]

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Last-modified: 2012-07-10 (火) 16:07:09 (3310d)