完全陰解法

オイラーやルンゲクッタなどでは，求めたいステップでの値(例えば)のために それ以前の値(など)だけを空間微分項に用いていた． このため，前のステップでの値が既知であれば，単に式にその値を代入するだけで計算が可能であった． これに対し，を時間微分項以外に用いる方法を陰解法と呼ぶ．

時間微分以外にがない場合を完全陰解法と呼ぶ． 移流方程式の完全陰解法による差分式(前進オイラー+風上差分)は，

一つの式に未知数が2つ()含まれており，陽解法のように単純に代入だけでは解けない． そのため，すべてのに関する式を連立させて解く(連立方程式)． 流体シミュレーションではほとんどの場合，線形連立方程式(線形システム)となる． つまり，上記の式をすべてのに関して立てることで，

という行列方程式を得る．そしてこれを逆行列計算により解く．

数値流体解析ではこの行列が巨大になってしまい，計算コストが大きくなる． 例えば，3次元空間をのグリッドで分割した場合，の行列となってしまう． ただし，は正定対称疎行列であることが多く，前処理付共役勾配法など効率的な解法を使うことができる． それでも，やはり陽解法に比べると圧倒的に計算時間が必要である． 一方で陰解法は数値的に安定しており，大きなタイムステップでも発散することなしに解ける(CFL条件にも左右されない)ため，CG用アプリケーションなどではよく用いられている．