Lanczos双直交化

Lanczos法は対称行列に限定した，Krylov部分空間における正規直交基底を求める方法であったが， これを非対称行列に対応させた拡張をLanczos双直交化(Lanczos Biorthogonalization or Two-sided Lanczos method)， 非対応行列の正規直交基底を求めるのならばArnoldi法になるのではないかと思うが， そうではなく，双直交系(biorthogonal system)に基づく方法で，Arnoldiとは異なる． ちなみに 双直交系とは，2つのベクトル空間のそれぞれの直交基底が となるような系である(はクロネッカーのデルタでi=jで1,それ以外で0となる)．

Lanczos双直交化では，以下の2つのKrylov部分空間の正規直交基底を求めていく．

双直交なとのKrylov部分空間の基底ならば，を満たす．

Lanzcos法のアルゴリズムより，以下の3項漸化式(three-term recurrence formula)が成り立つ．

についても同様に，

ここで，であり， はを正規化するためのパラメータである．

双直交化するために，となるようにを定める． つまり，

となる．この条件を満たす限り，はどのように定めてもよい． ここでは，

とする．また，この定義から以下も成り立つ．

これらの式を用いたLanczos双直交化のアルゴリズムは以下となる．

任意のベクトルを設定(ただし)
を設定
for(j = 1,2,...,m){
　　
　　
　　
　　
　　if() 反復終了
　　
　　
　　
}

得られたからなる行列

を考える．双直交系なので，である． 今，アルゴリズム中のを使って以下の三重対角行列を定義する．

3項漸化式より，

を使って，にまとめると以下となる．

この式から，

双直交性からなので，