Projection法

線形システム(Aは)

のステップ目の近似解を初期値から求める． いま，2つの部分空間を考える． そして，

として，解を探索するのがProjection法である． Kは解候補が含まれるsearch subspaceで， Lは近似解を得るための制約空間(subspace of constraints)である． Projection法では残差ベクトルがLに対して垂直になるようにする． この条件をPetrov-Galerkin conditionという．

ここで，とすると，

よって，

2つめの条件により，はLに垂直なベクトルとなる． これが基本的なProjection法のステップである． また，K,Lはステップごとに適切なものを選ぶ必要がある．

Krylov部分空間によるProjection法†

共役勾配法を代表的なものとして，多くの方法が Projection法において，K,LにKrylov部分空間を用いたものになっている． Krylov部分空間をとすると， これらの方法は大まかに以下のように分類される．

• : FOMなど
• : Lanczos, BiCG, CGS, QMRなど
• : GMRESなど