SOR法

ヤコビ法やガウス・ザイデル法において各ステップで計算されたとを用いて，さらに収束を加速させる方法が逐次加速緩和法(SOR法:Successive Over-Relaxation method)である．

各ステップにおいて補正量を用い，次の式で次ステップの値を計算する．

ここで，は加速係数であり，通常，である． SOR法を使うとの値によっては解の収束を速めることができる． ただし，問題にも依存するため最適な加速係数の算出が難しい．

SOR法の実装†

SOR法をC++で実装した例を以下に示す．

/*!
 * 逐次加速緩和法(SOR法:Successive Over-Relaxation)
 *  - ガウスザイデル反復法に加速係数をかけたもの
 * @param[inout] A n×nの係数行列とn×1の定数項(b)を併せたn×(n+1)の行列．n+1列目に解が入る．
 * @param[in] n n元連立一次方程式
 * @param[in] w 加速緩和乗数 ([0,2])
 * @param[inout] max_iter 最大反復数(反復終了後,実際の反復数を返す)
 * @param[inout] eps 許容誤差(反復終了後,実際の誤差を返す) 
 * @return 1:成功,0:失敗
 */
int SOR(vector< vector<double> > &A, int n, double w, int &max_iter, double &eps)
{
	vector<double> x(n, 0.0);	// 初期値はすべて0とする
	double tmp;

	double e = 0.0;
	int k;
	for(k = 0; k < max_iter; ++k){
		// 現在の値を代入して，次の解候補を計算
		e = 0.0;
		for(int i = 0; i < n; ++i){
			tmp = x[i];
			x[i] = A[i][n];
			for(int j = 0; j < n; ++j){
				x[i] -= (j != i ? A[i][j]*x[j] : 0.0);
			}
			x[i] /= A[i][i];

			x[i] = tmp+w*(x[i]-tmp);

			e += fabs(tmp-x[i]);	// 絶対誤差の場合
			//e += fabs((tmp-x[i])/tmp);	// 相対誤差の場合
		}

		// 収束判定
		if(e <= eps){
			break;
		}
	}

	max_iter = k;
	eps = e;

	for(int i = 0; i < n; ++i){
		A[i][n] = x[i];
	}

	return 1;
}