保存系セミラグランジュ法*1は,セミラグランジュ法の重みを正規化することで 体積保存を実現した移流法である.

スカラー量 eqa_phi.gif の移流方程式

eqa_csl1.gif

密度 eqa_rho.gif を用いた質量保存式

eqa_csl2.gif

移流方程式×eqa_rho.gif + 質量保存式×eqa_phi.gifで,

eqa_csl3.gif

積の微分の法則( eqa_csl4.gif )より以下の式が導かれる.

eqa_csl5.gif

ここで,eqa_csl6.gif とすると,eqa_hat_phi.gif は保存量として扱える.

グリッド中心座標をeqa_Vxi.gif とすると,セミラグランジュ法など移流法は基本的には以下のように重み付き和で表すことができる.

eqa_csl7.gif

ここで,eqa_wij.gif は重みで,eqa_csl8.gif

本来,完全に質量が保存されるならばどのグリッドにおいても,eqa_csl9.png となるべきであるが, 全グリッドで移流した後に eqa_sigma_j.gif を調べると,eqa_csl10.gifeqa_csl11.gif が起こりうる.これを eqa_csl12.gifと なるように修正する.

  • eqa_csl13.gifの場合
    eqa_csl13.gifの場合は簡単で,単純に重みをeqa_sigma_j.gifで割る.
    eqa_csl14.gif
  • eqa_csl11.gifの場合
    eqa_csl11.gifの場合は,足りない物理量を足す必要がある. そのため,フォワードトレースした結果を追加する. フォワードトレースしたときの重みを eqa_fij.gif とすると正規化した重みは以下となる.
    eqa_csl15.gif

最終的に正規化した重みを用いて値を更新する.

eqa_csl16.gif

実装

  1. バックトレースで eqa_csl17.gif を計算し,重み eqa_wij.gif を変数に格納しておく.
  2. 各グリッドで eqa_csl18.gif を計算
  3. eqa_csl11.gif ならば,eqa_fij.gif をフォワードトレースで求め,正規化した重み eqa_csl19.gif を算出.eqa_csl13.gif ならば,eqa_csl20.gif を計算.
  4. 正規化した重みで eqa_phin+1.gif を算出

*1 M. Lentine, J. T. Gretarsson and R. Fedkiw, "An unconditionally stable fully conservative semi-Lagrangian method", J. Comput. Phys. 230(8), pp.2857-2879, 2011

添付ファイル: fileeqa_csl9.png 185件 [詳細] fileeqa_csl2.gif 441件 [詳細] fileeqa_csl8.gif 394件 [詳細] fileeqa_csl10.gif 427件 [詳細] fileeqa_csl11.gif 405件 [詳細] fileeqa_phin+1.gif 421件 [詳細] fileeqa_csl13.gif 426件 [詳細] fileeqa_csl16.gif 413件 [詳細] fileeqa_hat_phi.gif 408件 [詳細] fileeqa_csl9.gif 423件 [詳細] fileeqa_csl18.gif 441件 [詳細] fileeqa_csl20.gif 422件 [詳細] fileeqa_csl12.gif 410件 [詳細] fileeqa_csl3.gif 424件 [詳細] fileeqa_rho.gif 387件 [詳細] fileeqa_csl17.gif 389件 [詳細] fileeqa_phi.gif 434件 [詳細] fileeqa_csl7.gif 436件 [詳細] fileeqa_csl4.gif 396件 [詳細] fileeqa_csl1.gif 373件 [詳細] fileeqa_Vxi.gif 416件 [詳細] fileeqa_wij.gif 420件 [詳細] fileeqa_sigma_j.gif 405件 [詳細] fileeqa_fij.gif 377件 [詳細] fileeqa_csl19.gif 399件 [詳細] fileeqa_csl14.gif 395件 [詳細] fileeqa_csl5.gif 404件 [詳細] fileeqa_csl15.gif 432件 [詳細] fileeqa_csl6.gif 364件 [詳細]

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Last-modified: 2018-05-01 (火) 14:07:52 (800d)