共役勾配法の計算手順において,残差ls_krylov.eq1.gifを用いた. この残差はどこから来たのかを考える. まず,ls_krylov.eq2.gif

ls_krylov.eq3.gif

とかける.これを反復式とすると,

ls_krylov.eq4.gif

これで残差ベクトルがでてきた. さらに残差ベクトル間の関係を調べる.

ls_krylov.eq5.gif

よって,

ls_krylov.eq6.gif

同様にls_krylov.eq7.gifに関しても,

ls_krylov.eq8.gif

これらの式から,ls_krylov.eq9.gifls_krylov.eq10.gifls_krylov.eq11.gif の線形結合で表されることがわかる.これを式にすると,

ls_krylov.eq12.gif
ls_krylov.eq13.gif

ここで,ls_krylov.eq14.gifはベクトルls_krylov.eq15.gifの線形結合の集合で表される部分空間であり, 上式のような部分空間をクリロフ部分空間と呼ぶ.

ls_krylov.eq16.gif

ls_krylov.eq17.gifの次元nは近似解を求めるための反復ごとに増えていく. そして,クリロフ部分空間内の任意の点はls_krylov.eq18.gifと書ける. ここでls_krylov.eq19.gifは次元がm-1以下の多項式を表している. つまり,クリロフ部分空間内の点はAに関するm-1次以下の多項式とls_krylov.eq20.gifの積の形で書き表せる.

ls_krylov.eq21.gifからクリロフ部分空間ls_krylov.eq17.gifの中を探索することで解を得る非定常な反復解法のことを クリロフ部分空間法と呼ぶ.共役勾配法もクリロフ部分空間法のひとつである (ヤコビ反復やガウス・ザイデルは定常な反復解法).

クリロフ部分空間法としては他に,

  • 双共役勾配法(Bi-Conjugate Gradient method : BiCG法)
  • 安定化双共役勾配法(Bi-Conjugate Gradient STABilized method : BiCGSTAB法)
  • 自乗共役勾配法(Conjugate Gradiate Squared method : CGS法)
  • 共役残差法(Conjugate Residual method : CR法)
  • 一般化共役残差法(Generalized Conjugate Residual method : GCR法)
  • 一般化最小残差法(Generalized Minimal RESidual method : GMRES法) などが提案されている.

添付ファイル: filels_krylov.eq15.gif 461件 [詳細] filels_krylov.eq14.gif 779件 [詳細] filels_krylov.eq9.gif 516件 [詳細] filels_krylov.eq19.gif 548件 [詳細] filels_krylov.eq6.gif 469件 [詳細] filels_krylov.eq1.gif 483件 [詳細] filels_krylov.eq10.gif 464件 [詳細] filels_krylov.eq20.gif 438件 [詳細] filels_krylov.eq17.gif 547件 [詳細] filels_krylov.eq16.gif 447件 [詳細] filels_krylov.eq12.gif 421件 [詳細] filels_krylov.eq18.gif 462件 [詳細] filels_krylov.eq2.gif 434件 [詳細] filels_krylov.eq7.gif 420件 [詳細] filels_krylov.eq5.gif 437件 [詳細] filels_krylov.eq13.gif 462件 [詳細] filels_krylov.eq21.gif 438件 [詳細] filels_krylov.eq8.gif 431件 [詳細] filels_krylov.eq3.gif 443件 [詳細] filels_krylov.eq4.gif 490件 [詳細] filels_krylov.eq11.gif 437件 [詳細]

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Last-modified: 2012-07-10 (火) 15:38:13 (2994d)