MPS法

圧縮性流体を取り扱うために提案されたSPH法に対して, 粒子法で非圧縮性流体を取り扱えるように提案されたのが Moving Particle Semi-implicit (MPS)法(1)である. MPS法では粒子数密度を導入し,この密度が一定となるように陰解法で圧力のポアソン方程式を解く. これにより,グローバルに非圧縮性を強制する. 一部分に陰解法を使っているので,Semi-implicitである.

非圧縮性流れの支配方程式

非圧縮流れの支配方程式であるナビエ・ストークス方程式は以下である.

mps.eq1.gif

ここで,mps.eq2.gifは流体の速度,mps.eq3.gifは液体の密度,mps.eq4.gifは粘度,mps.eq5.gifは外力を表す.

粒子間相互作用モデル

MPS法では勾配,発散,ラプラシアン等の微分演算子を,粒子間相互作用モデルに基づき離散化する. まず重み関数mps.eq6.gifを以下のように定義する.

mps.eq7.gif

ここで,mps.eq8.gifは粒子間距離,mps.eq9.gifは有効半径を表す. この式は粒子間距離がmps.eq9.gifより小さい粒子同士でのみ相互作用を及ぼすことを表している. 重み関数mps.eq6.gifを用いて,非圧縮性を強制するために次式で粒子数密度を定義する.

mps.eq10.gif

ここで,mps.eq11.gifは粒子mps.eq12.gifとその近傍粒子mps.eq13.gifの位置ベクトルを表している. 粒子数密度の初期値mps.eq14.gifを特に初期粒子数密度と呼ぶ.

非圧縮性流れにおいて液体の密度は一定である. MPS法では各粒子の粒子数密度mps.eq15.gifmps.eq14.gifとなるようにすることで非圧縮条件を強制する.

粒子間相互作用モデルによる勾配,発散,ラプラシアンの離散化は以下.

  • 勾配 勾配は粒子mps.eq12.gifの位置に対して勾配ベクトルを与える演算子である.
    mps.eq16.gif
    ここで,mps.eq17.gifは次元数mps.eq14.gifは初期粒子数密度である.
  • 発散 発散はベクトルに作用しスカラーを得る演算子である.
    mps.eq18.gif
  • ラプラシアン ラプラシアンは粒子mps.eq12.gifの変数量(ここでは速度,圧力等の物理量)を, 近傍の粒子mps.eq13.gifに重み関数の分布で分配する演算子である.
    mps.eq19.gif
    ここで,mps.eq20.gifは以下.
    mps.eq21.gif

MPS法による粒子位置更新

ナビエ・ストークス方程式(質量保存式と運動量保存式)を離散化する.

mps.eq22.gif

上付は用いる物理量のステップ数を示す. 圧力勾配項は陰的に計算するため,mps.eq23.gifの値を用いる. 粘性項,重力項については陽的に計算する.

まず,粘性項と重力項を計算し,粒子の仮の速度mps.eq24.gif,仮の位置mps.eq25.gifを得る.

mps.eq26.gif
mps.eq27.gif

粘性項mps.eq28.gifはラプラシアンであるので以下のように離散化する.

mps.eq29.gif

粒子位置mps.eq30.gifでの粒子数密度をmps.eq31.gifとし,以下の圧力のポアソン方程式を解くことでmps.eq32.gifを得る.

mps.eq33.gif

粘性項と同様に右辺を離散化すると, mps.eq34.gifに関する線形システムを得る.

mps.eq35.gif

Aは対称疎行列であり,不完全コレスキー分解付共役勾配法(Incomplete Cholesky Decomposition Conjugate Gradient method)などで解くことができる.求めたmps.eq32.gifから,mps.eq36.gifmps.eq37.gifを求める.

mps.eq38.gif
mps.eq39.gif

計算アルゴリズム

MPS法では以下の手順でシミュレーションを進める.

  1. 流れの初期条件を設定
  2. 仮の速度と位置を陽的に計算
  3. 粒子数密度を計算
  4. 圧力のポアソン方程式を解く
  5. 圧力勾配項で速度と位置を修正
  6. 2に戻る

(1)  S. Koshizuka, H. Tamako and Y. Oka, A particle method for incompressible viscous flow with fluid fragmentation, Comput. Fluid Dynamics J., 29(4), 1996.

添付ファイル: filemps.eq30.gif 916件 [詳細] filemps.eq34.gif 798件 [詳細] filemps.eq14.gif 689件 [詳細] filemps.eq11.gif 688件 [詳細] filemps.eq32.gif 664件 [詳細] filemps.eq24.gif 655件 [詳細] filemps.eq13.gif 643件 [詳細] filemps.eq29.gif 638件 [詳細] filemps.eq1.gif 825件 [詳細] filemps.eq19.gif 658件 [詳細] filemps.eq39.gif 656件 [詳細] filemps.eq38.gif 605件 [詳細] filemps.eq10.gif 645件 [詳細] filemps.eq18.gif 636件 [詳細] filemps.eq15.gif 649件 [詳細] filemps.eq6.gif 619件 [詳細] filemps.eq33.gif 588件 [詳細] filemps.eq12.gif 690件 [詳細] filemps.eq9.gif 663件 [詳細] filemps.eq26.gif 654件 [詳細] filemps.eq23.gif 639件 [詳細] filemps.eq7.gif 626件 [詳細] filemps.eq2.gif 565件 [詳細] filemps.eq35.gif 635件 [詳細] filemps.eq5.gif 613件 [詳細] filemps.eq3.gif 618件 [詳細] filemps.eq36.gif 606件 [詳細] filemps.eq16.gif 566件 [詳細] filemps.eq8.gif 580件 [詳細] filemps.eq17.gif 615件 [詳細] filemps.eq25.gif 620件 [詳細] filemps.eq31.gif 616件 [詳細] filemps.eq20.gif 595件 [詳細] filemps.eq4.gif 654件 [詳細] filemps.eq28.gif 621件 [詳細] filemps.eq21.gif 618件 [詳細] filemps.eq27.gif 646件 [詳細] filemps.eq37.gif 612件 [詳細] filemps.eq22.gif 638件 [詳細]

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Last-modified: 2011-11-25 (金) 18:02:51 (3223d)