有限差分法

有限差分法について

有限差分法とは†

偏微分方程式(PDE:Partial Differential Equation)の数値解法の一つ．計算領域を有限な大きさの領域に分割し，その領域上のある点(領域や境界の中心)で物理量を定義し，未知量とする．この未知量間の値の有限な差分をとり，定義点間の距離などで割る(差分商)で微分を近似し，PDEを解く．

例えば偏微分は極限を使って以下のように定義される．

をゼロでない微少量とすると，

という近似式(差分式)を得る．これが差分近似である．微分を差分商で置き換えている． を小さくすればするほど精度は向上する． この例では前進差分(forward difference)を行っているが， 後退差分(backward difference)，中心差分(central difference)などもある．